提起有限元法（FEM，Finite Element Method），其誕生是在20世紀40年代，但其思想卻可追溯至幾千年前。

公元3世紀中期，魏晉數學家劉徽在《九章算術注》中提出了著名的“割圓術”，即用圓內接正多邊形的面積來無限逼近圓面積。這是人類歷史上首次將極限和無窮小分割引入數學證明。從這種“化圓為直”“化整為零”的樸素思想中，可窺探到有限元法的本質精髓——想解決整體問題，首先要解決局部問題，再探究局部之間的關系，以及局部與整體和外部的關系。

有限元法是一種求解偏微分方程邊值問題近似解的方法。在近現代數學發展歷程中，牛頓和萊布尼茨的積分法、高斯的加權余值法及線性代數方程組解法、拉格朗日的泛函分析、伽遼金的伽遼金法等，都為有限元法奠定了理論基礎。而催生有限元法誕生的根本動因，則是實際的工程需求。

時間來到20世紀40年代，隨著航空事業的快速發展，復雜的結構分析問題對計算方法提出了更高的要求。

1941年，俄羅斯裔加拿大結構工程師A.Hrennikoff在論文[1]中首次將求解域離散為晶格結構，用離散元素法來求解彈性力學問題；1943年，美國數學家柯朗（Richard Courant）在論文[2]中提出了使用三角形區域的多項式函數來求解扭轉問題的近似解。盡管當時由于計算機尚未出現，這些研究沒有引起應有的注意，但他們的工作后來被視為有限元法的開端。

到了20世紀50年代，工程師和學者們進一步發展了早期的方法。

1952年，被美國國家工程院譽為“現代有限元法之父[3]”的美國教授克勞夫（Ray W.Clough）第一次與有限元法結緣[4]。他被聘請為波音公司summer faculty項目組的成員，從事一種delta翼結構的振動分析工作。由于該翼是三角平面形狀，問題不能用基于標準梁理論的方法解決。

經歷反復失敗后，項目組提出了矩陣剛度法（Matrix Stiffness Method）解決方案，并于1956年發表了關于有限元的第一篇論文Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures[5]。對于工程界來說，這是一篇具有里程碑意義的論文。

而對于波音公司來說，該團隊的努力為其成功研發著名的商用飛機做出了巨大貢獻。從1958年的波音707到1964年的波音727，波音系列飛機可以降落在更短的跑道上，并服務更多的機場。其中波音727成為商業航空的主力軍，并在60年代幫助美國航空客運量增長了三倍[6]。

1960年，克勞夫在論文The Finite Element in Plane Stress Analysis[7]中賦予了該方法一個謙遜而切中要害的名字——有限元法。在這篇文論中，克勞夫將有限元法的應用范圍從飛機擴展到土木工程。

無獨有偶，20世紀50年代末，劉家峽水電站的建設任務為中國有限元法的創立提供了土壤。

為解決大壩應力計算等難題，中國數學家馮康及其所在的中國科學院計算技術研究所三室開展了數學攻關，并于1964年獨立于西方創造了一整套解微分方程問題的系統化、現代化的計算方法，即有限元法。次年，馮康發表了論文《基于變分原理的差分格式》[8]，這是中國學者獨立于西方創立有限元法的標志。

1997年，菲爾茲獎得主、中國科學院外籍院士丘成桐教授在清華大學作《中國數學發展之我見》報告時這樣講道：“中國近代數學能夠超越西方或與之并駕齊驅的主要原因有三個……一個是陳省身教授在示性類方面的工作，一個是華羅庚在多復變函數方面的工作，一個是馮康在有限元計算方面的工作。”這是對馮康作為數學家的高度評價。

60年代中葉至90年代初，有限元法進入黃金發展期，并在接下來的三十年多年里廣泛應用于工業發展。

隨著有限元理論的日趨成熟和計算機技術的迅猛發展，有限元軟件如雨后春筍般涌現，CAE技術蓬勃發展。然而，中國的有限元理論及有限元軟件在經歷早期短暫的輝煌后，受當時環境所致，逐漸落后于西方，可惜可嘆。

云道智造自主研發的通用多物理場仿真平臺Simdroid是自主有限元軟件的代表

時至今日，有限元法依然被認為是最有效的數值計算方法之一。各種通用或專用的有限元軟件已經將有限元法轉化為社會生產力，廣泛應用于航空航天、石油石化、電子電器、機械制造、土木建筑等領域，為科學與工程技術的發展提供強有力的支撐。

以石油化工行業為例。液化天然氣（LNG，Liquefied Natural Gas）被公認為地球上最干凈的化石能源，是近年全球能源競爭的新陣地。作為低溫深冷介質，LNG的安全存儲對于儲罐的耐低溫性、抗震性等要求極高。LNG儲罐是整個LNG產業鏈中的核心裝備，其設計建造工藝復雜、造價高昂，是能源領域中的尖端技術之一。

在LNG儲罐技術體系中，有限元分析方法是一項核心支撐技術。由于大型LNG儲罐結構復雜多樣、作業環境惡劣多變，在罐體的設計、施工及作業階段均需要進行結構性能評估及可靠性驗證。依靠基礎的數學理論無法解決大型復雜結構問題，那么借助有限元手段對儲罐進行強度、剛度、溫度及穩定性等分析顯得尤為重要。

基于Simdroid開發的大型LNG儲罐有限元分析軟件，是國內首款面向大型LNG全容儲罐設計的有限元分析軟件，可以對LNG儲罐進行結構和熱仿真分析

回顧有限元法的誕生，需求是最根本的動力，有需求就會有供給。

達索系統Abaqus是一套功能強大的工程模擬的有限元軟件，其解決問題的范圍從相對簡單的線性分析到許多復雜的非線性問題。Abaqus在各國的工業和研究中得到廣泛的應用，在大量的高科技產品開發中發揮著巨大的作用。復雜的固體力學結構力學系統，能夠駕馭非常龐大復雜的問題和模擬高度非線性問題。

參考資料：

[1] HRENNIKOFF A.Solution of problems of elasticity by the framework method[J]. Journal of Applied Mechanics,1941,169-175.

[2] R. Courant, Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration, Bull. Amer. Math. Soc., 49 (1943), pp.1-23.

[3] https://www.nae.edu/19579/19581/20412/29580/Dr-Ray-W-Clough

[4] 有限元法起源的回顧— Clough RW在ECCM99上的演講

http://comdyn.hy.tsinghua.edu.cn/news/542-clough

[5] Turner MJ, Clough RW, Martin HC, Topp LJ. Stiffness and deflection analysis of complex structures. J Aero Sci 1956; 23:805-23.

[6] Wing Kam Liu, Shaofan Li, Harold Park. Eighty Years of the Finite Element Method: Birth, Evolution, and Future. CoRR, 2021.

[7] Clough RW. The finite element method in plane stress analysis. Proc ASCE Conf Eletron Computat, Pittsburg, PA, 1960.

[8] 馮康, 基于變分原理的差分格式, 應用數學與計算數學，1965, 2 (4): 238-262

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